Cinesi, scuola e matematica/Scheda: il Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo nella cultura matematica cinese

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Giovanni Giuseppe Nicosia - Cinesi, scuola e matematica (2010)
Scheda: il Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo nella cultura matematica cinese
Il Classico aritmetico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo (周髀算经 Zhōu bì suànjìng) La Scuola Moista (墨家 Mòjiā)

[p. 40 modifica]La letteratura classica riporta per il triangolo rettangolo il nome 勾股形 (gōugǔxíng), ossia letteralmente “forma con cateto corto e coscia”. La “coscia” (股 ) è il cateto maggiore, mentre per il minore si usa il termine tecnico 勾 (gōu) legato all’idea di segmento o lato. L’ipotenusa è indicata con 弦 (xián), “corda”, usato anche per designare la corda dell’arco o del violino. Il teorema è chiamato anche oggi Regola dell’altezza (商高定理 Shānggāo dìnglǐ) intendendo che uno dei cateti è anche altezza. La prima occorrenza documentata è nel Classico aritmetico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo (周髀算经 Zhōu bì suànjìng), nelle edizioni più tarde del quale compaiono figure che [p. 41 modifica]suggeriscono un procedimento di dimostrazione che possiamo interpretare con simboli e linguaggio contemporaneo come segue:

  1. il triangolo rettangolo di cateti a e b viene inserito in un quadrato come nella figura seguente, rielaborazione di quella originale; la costruzione, ragionando più “alla greca” che “alla cinese”, si può ottenere con riga e compasso mandando le rette opportune (perpendicolari o parallele) per i vertici; nella figura la quadrettatura serve solo d’aiuto alla lettura e si riferisce ad un caso particolare;
  1. il quadrato esterno ha quindi lato l=a+b ed area  ;
  2. i quattro triangoli più esterni (evidenziati in grigio) hanno tutti area , dunque insieme coprono una superficie pari a: ;
  3. il quadrato interno (quello rimasto chiaro che ha i vertici sui lati del quadrato esterno) ha per area la differenza delle due calcolate:  ; il suo lato è quindi  ;
  4. questa è anche l’ipotenusa del triangolo rettangolo di partenza, che quindi ha lati a, b e .

Nei Nove capitoli dell’arte matematica (九章算术 Jiǔzhāng suànshù), un classico più tardo, lo si applica nei seguenti tre problemi:

  1. Se il cateto minore è 3 chǐ (尺, 1 chǐ vale circa 33 cm) e quello maggiore 4 chǐ, quant’è l’ipotenusa? Risposta: 5 chǐ.
  2. Se l’ipotenusa è 5 chǐ e il cateto minore 3 chǐ quant’è il cateto maggiore? Risposta 4 chǐ.
  3. Se il cateto maggiore è 4 chǐ e l’ipotenusa 5 chǐ, quant’è il cateto minore? Risposta: 3 chǐ.

Il testo illustra poi il metodo generale:

“Moltiplica i cateti per loro stessi, sommali e poi estraine la radice quadrata: ecco l’ipotenusa. Ovvero moltiplica il cateto maggiore per se stesso e sottrai il risultato dal prodotto dell’ipotenusa per se stessa; estrai poi la radice quadrata della differenza: ecco il cateto minore. Ovvero moltiplica il cateto minore per se stesso; estrai poi la radice quadrata della differenza: ecco il cateto maggiore. [p. 42 modifica]Nel terzo secolo E.v. Liú Huī (刘徽) spiegò che questo metodo funziona perché i due quadrati costruiti sui cateti possono essere traslati, scomposti e ricomposti in modo da costituire un triangolo eguale a quello costruito sull’ipotenusa. Nella sua trattazione l’autore usa toni assai poetici e riferimenti filosofici, richiamando un concetto di equilibrio stabile che con tali eguaglianze sarebbe rispettato. Ecco qui un esempio di meta-regola (Spagnolo, D’Eredità, 2009), (Spagnolo, Ajello, 2008), ossia di schema di ragionamento stabile che funge da principio di validità generale e giustificazione di procedimenti in diversi ambiti. La chiarezza dell’algoritmo seguito e la possibilità di ricondurlo a questi principi sono, in questa impostazione, una strategia di giustificazione teorica. Algoritmi affidabili assumono in questa visione della matematica il ruolo cardinale dei postulati nell’impostazione euclidea. Liú Huī si riferiva inoltre a schemi e figure che non ci sono arrivate che dovevano illustrare i metodi per scomporre e ricomporre i quadrati. La geometria cinese, in special modo quella dell’epoca di Liú Huī, preferisce i confronti tra aree, i procedimenti di scomposizione e le traslazioni laddove il filone euclideo predilige le costruzioni con riga e compasso ed il riconoscimento di congruenze tra figure.